Six Sigma_談RSM－品保人的部落格

RSM(反應曲面法)在協助研究人員對科學系統或工業製程中最佳產品設計、製程改善、系統最佳化等問題提供一套分析、求解程序，大部分應用時機均屬工業性研究，尤其是當系統特性受大量變數影響狀況下最為適當。

在製造流程,我們一定會遇到的是不良品,大部分工程師的主要職務,或多或少其實都和改善脫離不了關係..也就是說,問題(不良品)的解決能力應該是工程師最基本要去學習的一項技能,而其中,試驗計畫中的RSM(反應曲面法(Response surface methodology, RSM) 為結合數學與統計而衍生出的方法，為最適實驗設計或規劃最佳作業條件的有利工具.

概念

反應曲面法之研究問題，一般假設問題為限制性之最佳化問題，目標函數的確切型式是未知的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 為誤差，反應曲面法一般在此前提的假設與應用系統的限制下，可有效地求得最佳實驗或作業變數值。一般來說，執行反應曲面法大致分為兩階段:

第一階段稱為反應曲面設計(response surface design) link: http://zh.wikipedia.org/zh-hant/%E5%8F%8D%E6%87%89%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E6%B3%95#.E5.8F.8D.E6.87.89.E6.9B.B2.E9.9D.A2.E8.A8.AD.E8.A8.88
第二階段稱為反應曲面最佳化(response surface optimization) link:http://zh.wikipedia.org/zh-hant/%E5%8F%8D%E6%87%89%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E6%B3%95#.E5.8F.8D.E6.87.89.E6.9B.B2.E9.9D.A2.E6.9C.80.E4.BD.B3.E5.8C.96

反應曲面設計

為探討獨立變數與反應變數之間的數學模式關係，因此欲對於反應和獨立變數之間找出一個適當的近似函數。通常利用獨立變數在一些範圍裡的低階多項式近似，即為一階迴歸模型 (first-order model)，如果系統中有曲率，則必須利用較高階的多項式，如二階模型(second-order modil)。

獲得最適化實務模型便是本階段最重要的議題。收集資料後以最小平方法 (least squares estimation, LSE) 配適，以尋找出一個適當近似的函數，採用迴歸分析的顯著性檢定 (general linear test approach) 來瞭解獨立變數與反應變數間的關係強弱，並檢定配適的模式是否恰當 (statistical adequacy)。當實驗區域接近最佳反應值附近時，真實反應曲面的曲率（curvature）會增加，則考慮二階模型，同樣的，我們需要檢定二階模式的適當性。當這個二階迴歸模式配適良好時，便可以利用這二階模式求得最適操作點及特徵化反應曲面。

反應曲面最佳化

反應曲面法是一個逐次的程序 (sequential procedure)。通常，當我們是在反應曲面的一個遠離最佳狀況的點時，系統只有少量的曲率而一階模型會是適當的，在此欲沿著改善路徑快速且有效地朝向最佳點 (optimum) 附近。

link for 逐次的程序 (sequential procedure) http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%80%90%E6%AC%A1%E7%9A%84%E7%A8%8B%E5%BA%8F&action=edit&redlink=1
> 進而利用最陡上升(下降)法 (steepest ascent/descent method)。所配適一階模型的反應曲面，也就是 $\text{[math]}$ 的等高線，沿著最大反應變數增加(減少)逐次移動程序，直到反應值無法再改善為止，其中，前進步伐的決定並非固定不變，可以根據實驗情況或經驗值決定，接著以此組操作水準為新的實驗中心點，並重複實驗步驟，往最佳反應曲面的方向逼近，並且執行線性模式之缺適性檢定，一旦發現一階迴歸模型不適合時，表示已接近最佳點，此時應採用更複雜的數學模式來進行分析。如下圖,又稱為 Mountain Climbing,從第一點的中心良率82%(Stage 1)移與左下良率85%的方向,定義出下一階段的Temp與Time的參數,依序求出中心良率為94%(Stage 4)的水準..


> 如果選擇二階模式配適實驗資料時，一般進行中央合成設計實驗 (central composite design，CCD) 或是三水準因子設計 (three-level factorial design)，在配適及檢定二階模型完成之後，就進行反應曲面分析，指在目前實驗區域中，以實際不同情況(或製程限制)針對反應曲面系統作深入探討。此時可利用正規分析或脊線分析等技術來進一步瞭解穩定點 (stationary point) 之數學特性，其發現為鞍點 (saddle point) 則需進行更進一步的脊線分析，並配合反應曲面圖(或輪廓圖)的協助，若二階模式配適時仍存在缺適性之問題，則可以求得局部最佳操作狀態或再進而配適更高之迴歸模式，如三次 (cubic) 或四次 (quartic) 模型。

優點
    經濟性原則：反應曲面法可以使用部分因子設計或特殊反應曲面設計（如混種設計等（hybrid design）），以較少的實驗成本及時間獲得不錯且有效的資訊。
    深入探討因子間交互作用影響：反應曲面法可以經由分析與配適模式來研究因子間的交互作用，並且進而討論多因子對反應變數影響的程度。
    獲得最適化的條件：根據數學理論求得最適的實驗情況，同時利用配適反應方程式繪出模式三度空間曲面圖與等高線圖，觀察並分析出最適的操作條件。
    減少模擬時間：可獲得模擬獨立變數與反應變數關係之數學模型，藉此將實驗次數及時間降低。

限制 (在應用上主要存在下列三項限制)
只適用於連續性的系統，是假設所有反應值與獨立變數的量測刻度是連續性的。
    影響系統之獨立變數(可控制和不可控制變數)是屬於計量性。
    RSM實施至少需要2個以上的控制因子才能成立一個反應曲面來分析

RSM執行步驟
    1. 篩選適當變數或控制因子
    2. 完成一階反應曲面(Mountain Climbing)
    3. 往最佳路徑前進尋求大約合理的參數範圍
    4. 搭配DOE(注意三項重點:隨機,重複與阻絕),完成二階反應曲面
    5. 找出最佳解
    6. 以重複試驗確認最佳解

何謂中心點?
   中心點：在每一因素高低水準之中點進行實驗
    1. 在不重複所有實驗條件下，用來獲得真正的重覆
    2. 通常重複幾次以估計實驗誤差
    3. 只對定量因素有用，以「0」代表（「＋，－」間的中點）
    4. 亦用來查核曲線或非直線反應

以中心點查核設計中的曲線現象
    1. 在中心點的預測值為在高低點觀測值的平均
    2. 如在中心點實際進行實驗，則在中心點所得觀測值之平均值與因素點間之平均值的差可用來估計有多少曲度

決定中心點實驗順序的二種方式
   1. 將中心點加至全部的實驗條件內，然後完全隨機地進行實驗
   2. 先執行一個中心點實驗，然後平均地將中心點加入至剩餘實驗次數
        > 一般常用第二種選擇，因它可提供較佳的:(1) 整個實驗的誤差估計值 (2) 潛伏變因的偵測

決定中心點順序的兩種方式之範例
    16-連串的實驗外加4個中心點
     選擇1
       > 將中心點訂為條件17,18,19,20
         > 完全隨機進行20次實驗
      選擇2
         > 將16次實驗條件先隨機化
         > 決定何間隔插入中心點: 20 runs/ 3=6.7
              * 在每6次實驗中加進一個中心點，即實驗順序為1,7,13與 19
              * 然後重標號全部實驗的順序

查核曲度（Curvature Check）

曲度：接下來該如何進行？
       > 如結論為曲度不明顯，表示
            * 我們是在反應曲面的相對平坦區域
            * 我們可沿改善方向進行（利用預測模型進行外插）
            * 以實驗驗證預測
       > 如結論為曲度明顯存在
           * 即使以預測模型進行內插都是可疑的
           * 應在現行區域進行更進一步的實驗以建立更好的模型
           * 需要反應曲面設計（3或更多水準）

參考資料:
(1) http://zh.wikipedia.org/zh-hant/%E5%8F%8D%E6%87%89%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E6%B3%95
(2) World Class Quality_KEKI R. BHOTE and K.BHOTE
(3) CSQ之SSBB＿DOE 教材